解いたら1億円！数学の7つの未解決問題、「ミレニアム懸賞問題」をわかりやすく解説

「数学には懸賞金が掛けられた問題があるって聞いたけどどんな問題だろう？」、「ミレニアム懸賞問題って解決するとどうなるの？」

こんな疑問にお答えします。

数学には、「ミレニアム懸賞問題」と呼ばれる懸賞金が掛けられた7つの未解決問題が存在します。

数学の中でも、重要な意味合いを持つものとして解決が希望されていますが、非常に難しい問題であることで有名です。

今回は、大学院で数学の研究をしていた僕が、初心者にもなるべくわかりやすく「ミレニアム懸賞問題」とはどんなものかについてご紹介します。

「ミレニアム懸賞問題」とは？

By: expres.ua

「ミレニアム懸賞問題」とは、アメリカのマサチューセッツ州にあるクレイ数学研究所という非営利組織が2000年に発表した懸賞金が掛けられた数学の7つの未解決問題のことです。

懸賞金額は、1つの問題に対して100万ドル（日本円でおよそ1億円）で、2018年現在、1つだけ解決がされています。

個別の問題については、この後詳しく解説しますが、賞金を獲得するためには、単に自分で解けたというだけではなく、論文を発表し、査読（＝専門家による論文のチェック）を経て、数学界に正しいことが広く認められる必要があります。

ミレニアム懸賞問題の内、「ポアンカレ予想」と呼ばれるものは、2002年〜2003年にかけてロシアの数学者グレゴリー・ペレルマンによって証明がされ、2010年に解決したことが発表されました。現在、残り6つの問題が未解決問題として残っています。

ミレニアム懸賞問題一覧

それでは、実際にクレイ研究所が発表しているミレニアム懸賞問題7つをまずは、一覧でご紹介します。

数学用語で一般の方には、意味不明のものも多く出てきますが、まずは気にしないで「これがミレニアム懸賞問題か〜」くらいの気持ちで見てください。

※実際、僕でも正確に主張を理解できないものもあるので安心してください（笑）。

ヤン＝ミルズ方程式と質量ギャップ問題（Yang-Mills and Mass Gap）

任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が ‘R4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ。

リーマン予想（Riemann’s Hypothesis）

リーマンゼータ関数 ζ(s) の非自明な零点 s は全て、実部が 1/2 の直線上に存在する。

P≠NP問題 (P vs NP Problem)

計算複雑性理論（計算量理論）におけるクラスPとクラスNPが等しくない。

ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ (Navier–Stokes Equation)

3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。

ホッジ予想 (Hodge Conjecture)

複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。

ポアンカレ予想 (Poincaré Conjecture)

単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である。

バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 (BSD予想、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)

楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。

上記がミレニアム懸賞問題として発表されている7つの未解決問題になります。

僕自身は、大学院で数論幾何と呼ばれる数学の分野を研究していたので、それに属する「リーマン予想」、「ホッジ予想」、「バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想」の主張は理解できますが、そのほかの問題に関しては正確な意味を理解できておらず、ザックリとしたイメージでしか問題を捉えられていません。

ミレニアム懸賞問題の難易度って？

ミレニアム懸賞問題は、どれも数学の中でも群を抜いた難解な問題ですが、あくまで一般の方が問題の意味を理解しようとした時の難易度をご紹介します。

比較的簡単なもの

ここで言う「比較的簡単」というのは、「主張の雰囲気をつかむだけなら他の問題よりはマシ」というレベルの意味です。

問題の主張を表面的に理解する難易度と実際に解く難易度は比例しないことに注意してください。

リーマン予想

ゼータ関数の零点（＝その関数の値が0になる点）の分布に関する予想です。

予想の意味を理解するだけなら高校で習う複素数平面を知っていれば簡単です。ただし，ゼータ関数が複素数の範囲でどう定義されるかをきちんと理解するには解析接続（大学2〜3年レベル）の知識が必要です。

リーマン予想の主張は、ものすごく大雑把に言ってしまえば、「ゼータ関数のグラフを複素平面上で書いたら、ゼータ関数の値＝0になるような点は、全て実部が1/2になるだろう」と言うものです。

P≠NP問題

「P」と「NP」は、それぞれ計算複雑性理論で登場する計算量を表すクラス（＝集合みたいなもの）です。このPクラスとNPクラスが等しくないであろうと言う予想がこのP≠NP問題です。

頑張ればなんとか理解できそうなもの

ポアンカレ予想

位相幾何学と呼ばれる分野に属する問題です。予想の中に現れる「多様体」とは、形をグニャグニャと変えられるゴムボールのような図形のことです。

「単連結」とは、この図形に「穴」がない（＝ドーナツみたいな形になってない）と言うことを意味しています。つまり、ポアンカレ予想とは、もう少し簡単に言い換えると、「穴の空いてない形が自由に変えられる三次元の図形は、”適切な変形”をすると三次元の球面と同じものと思える」という風に言い換えることができます。

このポアンカレ予想だけは、先に紹介した通りグレゴリー・ペレルマンによって証明がされ、正しいことがわかっています。

ちなみに、ペレルマンは、直接このポアンカレ予想を解決したわけではなく、それよりももっと一般化された「サーストンの幾何化予想」と呼ばれる予想を解決し、その系としてこのポアンカレ予想を解決するという離れ業をやってのけたことで、当時の数学界に大きな衝撃を与えました。